トランプと組み合わせの応用
問題
♡と♦のカードが合わせて10枚あります。この中から2枚を無作為に取り出したとき、2枚とも♡になる確率が $\dfrac{1}{3}$ となるような、♡の枚数を求めなさい。
2枚とも♡になる確率は：
$$
P = \frac{\binom{h}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{3}
$$
ここで、
- h：求めたい♡の枚数
- $\binom{h}{2}$：ハートから2枚選ぶ組み合わせ
- $\binom{10}{2}$ = 45 ：全体から2枚選ぶ組み合わせ
したがって、以下の方程式を解けばよい：
$$
\frac{\binom{h}{2}}{45} = \frac{1}{3}
$$
両辺に45をかけると：
$$
\binom{h}{2} = 15
$$
つまり、
$$
\frac{h(h – 1)}{2} = 15
$$
これを解くと：
$$
h(h – 1) = 30
$$
この式を満たす整数$h$を探します。
- $h = 6$ のとき → $6 \times 5 = 30$
ハートの枚数は 6 枚です。
Rで解くと、、、
R
# 総枚数
total <- 10
# 条件に合うハートの枚数を探す
for (h in 1:(total - 1)) {
p <- choose(h, 2) / choose(total, 2)
if (abs(p - 1/3) < 1e-6) {
cat("ハートの枚数は", h, "枚です。確率 =", p, "\n")
}
}ハートの枚数は 6 枚です。確率 = 0.33333