Fisherの正確検定

Fisherの正確検定、Fisherの正確確率検定、Fisherの直接確率検定、Fisherの直接法などと呼ばれています（統一してくれれば良いのにといつも思います）

Googleでのヒット数(2022.5.19調べ)

Fisherの正確検定が多かったので、このタイトルに使ってます

まずはRでやってみましょう！

問題提起
新たなトレーニング方法（Z法）が開発されました・・・
果たしてこのトレーニングは運動障害が重度群と軽度群で効果に差があるのか？という問題です

定義

\(\displaystyle オッズ=(\frac{効果あり}{効果なし})\)

• ここではオッズを効果率と定義します
• このようにオッズやオッズ比の定義を確認しておくことが重要です

サンプル（架空のサンプルです）

重度群の効果率は4、軽度群の効果率は0.75となります

この効果率の比が「1」か「1ではない」かということを調べるために、下記のオッズ比を利用します

\(\displaystyle (オッズ比 =)(\dfrac{重度群の効果率}{軽度群の効果率})(= 5.33)\)

5.33なのでオッズ比は1より大きいようですが・・・

オッズ比が高くなると重度群の効果率が高くなることを意味しており、オッズ比が１より大きくなると軽度群の効果率より重度群の効果率が高いことを意味します

この検定の仮説は以下のようになります

帰無仮説H0: オッズ比＝1（重度群の効果率 ＝ 軽度群の効果率）
対立仮説H1: オッズ比≠1（重度群の効果率 ≠ 軽度群の効果率）

まずはRで分割表を作成してみましょう
tabという単語の中にサンプルの分割表を挿入してみます

tab <- matrix(c(12, 6, 3, 8), 2, 2)
tab

tabと入力してEnterをクリックして以下のようになれば成功です
これで「tab」という単語（なんでも構いません）の中に分割表が入りました

Fisherの正確検定では、「効果あり＝18」となる12パターンの確率を求めます
つまり「効果あり＝18」を条件とした場合の確率です

これでFisherの正確検定の準備は完了、有意水準5％で検定してみましょう

研究計画（何を立証したいのか）に従い以下から適切な検定方法を選択します

Rの関数で検定

tabには上記の分割表が入っています

fisher.test(tab, alternative = "less")

fisher.test(tab, alternative = "greater")

fisher.test(tab, alternative = "two.sided")

ごちゃごちゃしてますが、以下のように出力されれば成功です

上記結果の3つの違いについて

ｘ：重度群かつ効果あり、効果あり=18は固定
つまり、もとめる確率は、P(X | X=x, 効果あり=18)という条件付き確率となります　

fisher.test(tab, alternative = “less”)

X≦12となる確率を求めます
X=12, X=11, X=10, ･･･, X=4となる確率
つまり効果率がX≦12になる場合の確率です

P(X | x≦12, 効果あり=18)　

\(P(X＝12) + P(X=11) + ・・・ + P(X=4)＝0.9935\)

＊この確率は超幾何分布を使って求めます　(後で出てきます)

ｐ値は0.9935なので重度群と軽度群の効果率の差はありません

fisher.test(tab, alternative = “greater”)

X≧12となる確率を求めます
X=12, x=13, X=14, X=15となる確率
つまり効果率がX≧12になる場合の確率です

P(X | x≧12, 効果あり=18)　

\(P(X＝12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15)＝0.04601384\)

p-value = 0.04601384
有意水準が0.5%の場合
X が12以上になるのは稀であることを意味します
つまり、効果率は１以上と考え重症群の効果率が有意に高いと判断します

fisher.test(tab, alternative = “two.sided”)

P=0.06043 なので有意差はありません
このｐ値は後半で説明します

fisher.test(tab, alternative = “greater”)　の結果の説明

1. p-value（ｐ値）
   0.04601384
2. alternative hypothesis（対立仮説）
   Rは対立仮説を出力します
   真のオッズ比は１ではない
   すなわち・・・p値<0.05なので「重症群と軽度群には有意差があり、
   AM実施群の効果率は有意に高いという結果になります
   注意）両側検定の場合Ｐ値が大きくなり有意ではなくなります
3. 95 percent confidence interval
   下記のオッズ比の95%信頼区間
4. odds ratio（オッズ比）5.003853
   注意
   これは単純な割り算のオッズ比（5.33）ではありません
   条件付き最尤推定から算出されています（効果あり＝18）
   詳細は下記の奥村晴彦先生のページをご参照ください
   https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/fishertest.html

超幾何分布

超幾何分布から\(P(X)\)を算出します

確率分布のページへ

Fisherの正確検定のp値の求め方

\(P(X=12)＝0.03949341\)

ということが分かりました
つまり数あるパターンの中から上の分割表のパターンになる確率のことです

Rでやってみましょう
dhyperは幾何分布の確率密度を求めるための関数です（”d” gives the probability density）

# dhyperは超幾何分布の確率密度関数

a <- 15
b <- 14
n <- 18
x <- 12

dhyper(
    x = x, m = a, n = b, k = n
    )

以下のように表示されていれば成功です

さきほど求めた解と同じ確率が算出されます

X≧12やX≦12となる確率はどうなるでしょうか？

X＝0～15の確率を直接求めるのです！
全て足せばよいのでやってみましょう
$$ P(X≧12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) $$
なかなか大変です・・・
なのでｎが大きくなると昔は計算が大変だった思います・・・
でも今はRですぐに計算できるので感謝です

fisher.test(tab, alternative = “greater”)　のｐ値

# sumは集計結果を算出する関数です
a <- 15
b <- 14
n <- 18
x <- c(12:15)

sum(
    dhyper(x = x, m = a, n = b, k = n)
    )

以下のように表示されていれば成功です

fisher.test(tab, alternative = “two.sided”) のｐ値

（片側ｐ値の小さい方：0.04601) 　＋ （0.04601を超えない反対側の累積確率）

求める確率はP(X|x≧12, x≦6) 　ただし　4≦ｘ≦15

$$ P(X＝12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15)＝ 0.04601384 $$

$$ P(X＝4) + P(X＝5) + P(X＝6) = 0.01441911 $$

$$ 0.04601384 + 0.01441911 = 0.06043295 $$

というわけで確率分布を利用して統計量からp値を算出するのではなく、こうやって直接ｐ値を求めます

Rでやってみましょう

a <- 15
b <- 14
n <- 18
x <- 12
x1 <- c(4:6)    #反対側の累積確率（ただし＜片側ｐ値の小さい方）
x2 <- c(12:15)

sum(
    dhyper(x = x1, m = a, n = b, k = n),
    dhyper(x = x2, m = a, n = b, k = n)
    )

以下のように表示されていれば成功です

間違った解釈をしないように！

再掲

AM実施群が有効であることを証明したい場合

帰無仮説H0: AM群の効果率 ＝ PM群の効果率
対立仮説H1: AM群の効果率 ＞ AM群の効果率

上記のような実験結果から試験群の有効率が対照群の有効率より大きいことを証明します．
Fisherの直接法により有意水準5%で検定しましょう．

tab <- matrix(c(12, 6, 3, 8), 2, 2)
fisher.test(tab)

p=0.06となり有意差はありません・・・
という回答は間違っています．

fisher.testのデフォルトを確認しましょう

?fisher.test

alternative = “two.sided”
両側検定が初期設定として機能しています．
しかし今回の検定は 「片側検定を5％水準で行う」と宣言しています．
alternative = “less“または“greater”を設定しなければなりません．
さてどちらを選択すればよいでしょうか・・・？

• “less“

先に述べましたようにX≦12となる確率算出します．
p-value = 0.9935

Rは分割表の左上を基準にしています

たまたまAM実施群の効果ありが左上にあるので、そこが基準となっています

それでは左列が効果なしなっている分割表に換えてみましょう

# c(2, 1) 2列目と1列目を入れ替えるという指示です
tab2 <- tab[, c(2, 1)] 
tab2

これで列が入れ替わりました

検定してみましょう

fisher.test(
    tab2, alternative = "less"
    )

fisher.test(
tab, alternative = “less”
)

のときはp-value = 0.9935でしたが

fisher.test(
tab2, alternative = “less”
)

ではp-value = 0.04601となっています．

なので…基準を間違うと検定結果も間違うということになります．

今回は「 AM実施が有効 ＞ PM実施が有効」を証明したいので・・・

tab2のまま検定するのであれば、

fisher.test(
tab2, alternative = “less“
)

tabで検定するのであれば

fisher.test(
tab, alternative = “greater“
)

ということになります

もちろんどちらも同じｐ値になります
＊ただし分割表の基準が異なるのでオッズ比も異なります

3群以上の場合

帰無仮説：3群における効果率は等しい
対立仮説：3群における効果率は等しくない（3群のどこかで効果率が異なる）
または
帰無仮説：クラメールの連関係数 = 0
対立仮説：クラメールの連関係数 > 0

要するにｶｲ二乗検定の独立性の検定です・・・

tab3 <- matrix(c(15, 12, 6, 3, 3, 10), 3, 2)
tab3

以下のような分割表を検定してみます

fisherの正確検定

fisher.test(tab3)

fisherの正確検定は大変複雑な計算になりますが、Rでは一瞬で算出してくれます。両側検定をした結果は、p=0.048 となり統計学的に効果率には差があるという結果になりました。

fisher.test(tab3, alternative = "less")
fisher.test(tab3, alternative = "greater")

３群以上の場合は、３群の割合の差の二乗の和が0か0じゃないかの検定なので、片側検定の意味はありません。なので上記のように片側検定を行っても同じ答えになります。

ｶｲ二乗検定も同様ですが、３群以上のFisherの正確検定は、3群における効果の有無に差があるかどうかを検定しています。以下、ｶｲ二乗検定の結果です。

chisq.test(tab3)

p値は少し異なりますが、ｶｲ二乗検定もやはり有意として答えてくれません。

fisherの正確検定、ｶｲ二乗検定ともに３群の効果率には違いがあるという結果になりました。計算は非常に面倒なことになるので（2✕2分割表でも大変でした）、他の参考書などをご参照ください。

多重比較

グループ間の割合に差があるということなので、多重比較を行う場合が多いと思われます。でも、個人的には井口先生のご意見に賛成です。以下をご参照ください。

Fisher 正確検定の後に多重比較するな

Fisher 正確検定の後に，下位検定（事後検定 post hoc test）として，多重比較（Bonferroni, Holm など）を行うことは適切ではない。

biolab.sakura.ne.jp

このことを理解した上で、一応多重比較の方法のみ記載しておきます。
使用するパッケージは、RVAideMemoire

インストールしてない場合は

install.packages(“RVAideMemoire”)

library(RVAideMemoire)

以下のようなｐ値調整の方法があります

実際にやってみましょう
A=１行目、B＝2行目、C＝３行目

#ホルム
fisher.multcomp(tab3, p.method="holm")

#ボンフェローニ
fisher.multcomp(tab3, p.method="bonferroni")

どちらの方法も１行目と3行目に有意差ありという判定でした。