ログランク検定（log-rank test）

2群の生存率曲線に有意な差があるか・・・を検定する方法を紹介します。ログランク検定は、2群の生存時間データを比較するために使用されるノンパラメトリック検定です。以下のページに掲載されているデータを使用させていただきました。いつも大変お世話になっております。

統計学入門−第11章 (snap-tck.com)

データの準備と要約

必要なパッケージをダウンロードしておきます（ダウンロード方法について）

library(survival)
library(survminer)

サンプルを準備します（Rにcsvファイルを読み込む）

dat <- read.csv("surv.csv", header=T, fileEncoding = "Shift-JIS")

group列: A群＝12名、B群＝10名
time列: 時期
event列: イベント発生（1: 死亡, 0: 脱落、打ち切り）

カプランマイヤー曲線（Kaplan-Meier曲線）

カプランマイヤー曲線（Kaplan-Meier曲線）

イベントが発生するまでの時間に興味がある場合に利用します。リハビリテーション研究ではあまり使用されていませんが、カプランマイヤー曲線の基本部分を説明します。

y2pt.com

2023.05.24

時期とイベントのデータセット

time_event <- Surv(time = dat$time, event = dat$event)
print(time_event )

数値は時期、＋は「打ち切り」あり

fit <- survfit(time_event ~ group, data=dat)
summary(fit)

# カプランマイヤー曲線
g1 <- ggsurvplot(
  fit, data = dat, pval = TRUE,
  risk.table = TRUE, #各時期のリスク集合の数
  break.time.by = 6) #ｘ軸の間隔
print(g1)

p値はログランク検定の結果

Rでログランク検定（log-rank test）

# ログランク検定の実行
logrank <- survdiff(time_event ~ group, data = dat)
# 検定結果の表示
print(logrank)

p値＝0.03となり、有意差が認められました。検定の結果のみでよろしければ、ここまででOKです。ここからは、もう少し詳しく見ていきます。

ログランク検定の検定統計量

時間でソートしたデータ

dat_sorted <- dat[order(dat$time), ]
#View(dat_sorted )

（event; 1=死亡、0=脱落、打ち切り）

超幾何分布より期待値と分散を求めます

超幾何分布

超幾何分布は、有限個の要素から成る母集団より無作為に抽出したサンプルにおいて、特定の属性を持つ要素が何個含まれているかを示す確率変数の分布です。

y2pt.com

2023.01.01

期待値と分散の一覧は以下のようになります（event: 1＝死亡、0＝脱落、打ち切り）

この一覧を使用して、各検定の統計量が計算されます

M = risk(A)
N = risk(A) + risk(B)
X = event(A)
k = event(A+B)

Mantel-Haenszel統計量

一般的にログランク検定し使用されている統計量

ログランク検定の検定統計量は、比較されるグループが2つの場合、自由度1のカイ二乗分布に従います

イベント（ここでは「死亡」）が発生する時点で2×2の分割表を作成し、カイ二乗統計量からP値を算出します

各時間での死亡数、期待値、分散から有意な差があるかどうかを判断します

logrank <- survdiff(Surv(time, event) ~ group, data = dat)
print(logrank)

Mantel-Haenszel統計量 = 4.64（自由度1のカイ二乗分布に従う）

期待値と分散の一覧表よりMantel-Haenszel統計量を求める方法

$w_j＝1$で重み付けしたカイ二乗統計量

$\chi^2(Mantel-Haenszel) = \dfrac{(\sum(d_{1j}-e_{1j}))^2}{\sum{v_i}}$

(6-9.55)^2 /2.714
(8-4.45)^2 /2.714

（A群もB群も同じ解になります）

ログランク検定の統計量

Mantel-Haenszel統計量とは異なる方法でカイ二乗統計量を算出する方法

ログランク統計量($\chi_{LR}^2$)＝1.32 + 2.83 = 4.15（自由度1のカイ二乗分布に従う）

期待値と分散の一覧表よりログランク統計量を求める方法

$d_{Ai}$: group A の死亡数
$e_{Ai}$: group A の死亡数を確率変数とした場合の期待値（超幾何分布）
$d_{Bj}$: group B の死亡数
$e_{Bj}$: group B の死亡数を確率変数とした場合の期待値（超幾何分布）

$\chi_{LR}^2=\dfrac{(\sum(d_{Ai}) – \sum(e_{Ai}))^2}{\sum(e_{Ai})}+\dfrac{(\sum(d_{Bj}) – \sum(e_{Bj}))^2}{\sum(e_{Bj})}$

(6-9.548)^2/9.548 + (8-4.452)^2/4.452

参考）重み付けした統計量

混乱しますが、以下のような統計量もあります（他にもあります）

$w_k$で重み付けしたカイ二乗統計量

$\chi^2_{w_k} = \dfrac{(\sum{w_k}(d_{1k}-e_{1k}))^2}{\sum{w_k^2}v_k}$

$d_{1k} : $ イベント数
$e_{1k} : $ イベント期待値
$v_k : $ イベント分散

Rを使用したｐ値の求め方（参考ページ）

#ログランク検定（method = "1"）
surv_pvalue(fit, data = dat, method = "survdiff")
#Gehan-Breslow
surv_pvalue(fit, data = dat, method = "n")
#Tarone-Ware
surv_pvalue(fit, data = dat, method = "sqrtN")

method =

“1“または”survdiff” : 通常のログランク検定（Mantel-Haenszel統計量 ）、遅い時期の差異を検出するのに敏感
“n“：Gehan-Breslow（一般化ウィルコクソン）, $w_k＝N$ で重み付け, 早期の差異を検出
“sqrtN“：Tarone-Ware , $w_k＝\sqrt{N}$ で重み付け, 早期の差異を検出

詳細については下記論文をご参照ください

• Gehan A. A Generalized Wilcoxon Test for Comparing Arbitrarily Singly-Censored Samples. Biometrika 1965 Jun. 52(1/2):203-23.
• Tarone RE, Ware J 1977 On Distribution-Free Tests for Equality of Survival Distributions. Biometrika;64(1):156-60.
• Peto R, Peto J 1972 Asymptotically Efficient Rank Invariant Test Procedures. J Royal Statistical Society 135(2):186-207.
• Fleming TR, Harrington DP, O’Sullivan M 1987 Supremum Versions of the Log-Rank and Generalized Wilcoxon Statistics. J American Statistical Association 82(397):312-20.