超幾何分布

＊本サイトのサンプルデータは全て架空のものです

データの準備と要約

Fisherの正確確率検定で使用している以下の分割表（クロス表）をサンプルにします

仮想例題）29名（重度群15名、軽度群14名）の患者に対して治療Aを実施した。効果があったのは18例で、その中の重症群は12例であった。

この例をクロス表にすると以下のようになります

.libPaths("C:\\Users\\yyoshida\\Documents\\Rpackages")
cross1 <- matrix(c(12, 6, 18, 3, 8, 11, 15, 14, 29), ncol = 3)
colnames(cross1) <- c("効果あり", "効果なし", "計")
rownames(cross1) <- c("重度群", "軽度群", "計")
#View(cross1)

超幾何分布

上記の例を一般化します

対象者数： $N$ 人

対象者の内訳：重度群 $M$ 人、軽度群 $N-M$ 人

全体の効果：治療Aの効果あり $k$ 人

重度群の効果：重度群のなかで治療Aの効果があった人数 $x$ 人

cross2 <- matrix(c(
  "x", "k-x", "k",
  "", "", "",
  "M", "N-M", "N"), 
  ncol = 3)
colnames(cross2) <- c("効果あり", "効果なし", "計")
rownames(cross2) <- c("重度群", "軽度群", "計")
#View(cross2)

超幾何分布は、3つのパラメーター、$N$（全体の数）、$M$（特定の特徴を持つ要素の数）、$k$（抽出されるサンプルのサイズ）に基づきます。確率変数$X$は、「$k$回の抽出で得られた特定の特徴を持つ要素の数（$x$）」を表します。このような場合、$X$が従う分布を超幾何分布といいます。

$M, N, k$ が分かると周辺和 がすべて固定され、さらに4つのセルのなかの1つ（$x$）を決めることで他のセルが全部決まります（自由度=1）

超幾何分布の確率関数

超幾何分布の確率関数は、このような特定の条件下での組み合わせ \((C=combination)\)の確率として表されます

確率関数： $P(X=x) = \dfrac{_{M}C_{x}\times_{N-M}C_{k-x}}{_NC_k}$

$P(X=x)=\dfrac{( M 人から x 人を選択)( N-M から k-x 人を選択)}{全体 N 人から k 人を選択}$

確率変数$X$が超幾何分布に従っている場合の $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$

期待値：$E(X) = k\dfrac{M}{N}$

分散：$V(X) = k\dfrac{M(N-M)}{N^2}\dfrac{N-k}{N-1}$

Rのdhyper関数

治療Aを受けた29名の例は以下のようになります（再掲）

$P(X=12)=\dfrac{_{15}C_{12}\times_{14}C_{6}}{_{29}C_{18}}=0.03949341$

組み合わせの数を求めるRの関数 choose を使用して次のように書くことができます

choose(15, 12)*choose(14, 6)/choose(29, 18)

関数 dhyper を使用して、もっと簡単に書くことができます

$P(X=ｘ)=$ dhyper(x, m, n, k)

dhyper(x=12, m=15, n=14, k=18)

Rの関数 dhyper(x, m, n, k) のパラメータ標記に合わせたら以下のようになります

Rのdhyperは、通常の超幾何分布のパラメーター表記とは異なりますので注意が必要です

(m = M, n = N-M)

• x : 赤玉が抽選される量子（quantiles）を表すベクトルです. 袋から置き換えなしで赤玉が引かれることを意味します。（非復元抽出法）
• m : 袋の中の赤玉の総数
• n : 袋の中の白玉の総数
• k : 袋から取り出された玉の総数. この数は0からm+nまでの範囲でなければなりません. つまり、抽選される玉の数は袋の中の玉の総数を超えることはできません.

R: The Hypergeometric Distribution を一部改変

超幾何分布の確率関数グラフ

\(P(X)\)が従う分布を超幾何分布といいます

ここの例では重度群の人数は15名なので、$x$ の範囲は $0～15$ となります

どのような分布になるか見てみましょう

library(ggplot2)
# データの生成
x <- 0:15
p <- dhyper(x, 15, 14, 18)
# データフレームの作成
df1 <- data.frame(x, p)
# ggplotを使ったグラフの描画
ggplot(df1, aes(x = x, y = p)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue", color = "black") +
  theme_minimal() +  # シンプルでモダンなテーマの適用
  labs(x = "x", y = "Probability", title = "超幾何分布") +
  geom_point(size = 3, color = "red") +  # データポイントを強調
  geom_line(aes(group = 1), color = "red") 

\(x\) が12、13、14、15のときの確率を足せば片側検定のP値となります

x が12以上になる確率が小さい値になれば、偶然に起こったことと言えなくなります。なので、効果の割合に差があると言えるのです。