超幾何分布

＊本サイトのサンプルデータは全て架空のものです

データの準備と要約

Fisherの正確確率検定で使用している以下の分割表（クロス表）をサンプルにします

仮想例題）29名（重度群15名、軽度群14名）の患者に対して治療Aを実施した。効果があったのは18例で、その中の重症群は12例であった。

この例をクロス表にすると以下のようになります

severity <- c(rep("severe", 12), rep("mild", 6), rep("severe", 3), rep("mild", 8))
severity <- factor(severity, levels=c("severe", "mild"))
levels(severity)
#[1] "severe" "mild"
effect <- c(rep("yes", 18), rep("no", 11))
effect <- factor(effect, levels=c("yes", "no"))
levels(effect)
#[1] "yes" "no" 
tab <- xtabs( ~ severity + effect)
addmargins(tab)

障害レベル; severity（severe=重度, mild=軽度）
効果; effect（yes=あり, no=なし）

超幾何分布

上記の例を一般化します
対象者数： N 人
対象者の内訳：重度群 M 人、軽度群 N-M 人
全体の効果：治療Aの効果あり k 人
重度群の効果：重度群のなかで治療Aの効果があった人数 x 人

cross2 <- matrix(c(
  "x", "k-x", "k",
  "", "", "",
  "M", "N-M", "N"), 
  ncol = 3)
colnames(cross2) <- c("yes", "no", "sum")
rownames(cross2) <- c("severe", "mild", "sum")
View(cross2)

超幾何分布は、3つのパラメーター、N（全体の数）、M（特定の特徴を持つ要素の数）、k（抽出されるサンプルのサイズ）に基づきます。確率変数 X は、「k 回の抽出で得られた特定の特徴を持つ要素の数（x）」を表します。このような場合、X が従う分布を超幾何分布といいます。

M, N, k が分かると周辺和 がすべて固定され、さらに4つのセルのなかの1つ（x）を決めることで他のセルが全部決まります（自由度=1）。

超幾何分布の確率関数

超幾何分布の確率関数は、このような特定の条件下での組み合わせ (C=combination)の確率として表されます

確率関数： $P(X=x) = \dfrac{_{M}C_{x}\times_{N-M}C_{k-x}}{_NC_k}$

$P(X=x)=\dfrac{( M 人から x 人を選択)( N-M から k-x 人を選択)}{全体 N 人から k 人を選択}$

確率変数$X$が超幾何分布に従っている場合の $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$

期待値：$E(X) = k\dfrac{M}{N}$

分散：$V(X) = k\dfrac{M(N-M)}{N^2}\dfrac{N-k}{N-1}$

Rのdhyper関数

治療Aを受けた29名の例は以下のようになります（再掲）

$P(X=12)=\dfrac{_{15}C_{12}\times_{14}C_{6}}{_{29}C_{18}}=0.03949341$

組み合わせの数を求めるRの関数 choose を使用して次のように書くことができます

choose(15, 12)*choose(14, 6)/choose(29, 18)

関数 dhyper を使用して、もっと簡単に書くことができます
P(X=ｘ)= dhyper(x, m, n, k)

dhyper(x=12, m=15, n=14, k=18)

Rのdhyperは、通常の超幾何分布のパラメーター表記とは異なりますので注意が必要です
N = m+n
M = m
x = x
k = k

超幾何分布の確率関数グラフ

P(X)が従う分布を超幾何分布といいます。ここの例では重度群の人数は15名なので、X の範囲は 0～15 となります。どのような分布になるか見てみましょう。

library(ggplot2)
# データの生成
x <- 0:15
p <- dhyper(x, 15, 14, 18)
# データフレームの作成
df1 <- data.frame(x, p)
# ggplotを使ったグラフの描画
ggplot(df1, aes(x = x, y = p)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue", color = "black") +
  theme_minimal() +  # シンプルでモダンなテーマの適用
  labs(x = "x", y = "Probability", title = "超幾何分布") +
  geom_point(size = 3, color = "red") +  # データポイントを強調
  geom_line(aes(group = 1), color = "red") 

X が12、13、14、15　のときの確率を足せば片側検定のP値となります。

x が12以上になる確率が小さい値になれば、偶然に起こったことと言えなくなります。なので、効果の割合に差があると言えるのです。