経時データの解析（混合効果モデル、反復測定分散分析）

対応のあるｔ検定

3週目と6週目の差の検定を実行してみましょう（6週目－3週目）

これは対応のある2群の差の検定ですので、t検定で大丈夫です。ただし欠損しているデータが含まれているので、除外して検定しなければなりません。

id12とid16に欠損があるので、id12とid16のデータを削除して検定します

欠損のある対象者（id12, id16）とperiod=bl を全て除外したデータセット dat2 を作成

dat2

dat2 <- subset(
    dat,
    id != 12 & id != 16 & period != "bl"
)
summary(dat2)

グラフ作成

#dat2を使用してグラフを作成
g4 <- ggplot(dat2, aes(x = period, y = fim, group = id, colour = id)) +
        geom_line() +
        scale_x_discrete(
            "観測時点", 
            labels = c(
                "w3" = "3週後", 
                "w6" = "6週後"
            )
        )

print(g4)

欠損値のある対象者（id12, id16）を削除したので、全て関連性があります

$\blacksquare$ 対応のあるｔ検定

横のデータセット yoko から欠損のある対象者（ id12 、 id16） を除外したセット yoko2 を作成（n=18）

# データyokoの行（12行目と16行目）を除外して新しいデータセットを作成
yoko2 <- yoko[c(-12, -16), ]
View(yoko2)

観測時点6週後と3週後のデータ間のt検定を実施

t.test(yoko2$w6 - yoko2$w3)

p<0.05で６週後のFIMが有意に高い結果となりました

混合効果モデル

例題を簡単なモデルにすると以下のようになります

$Y_{ij}=\mu+\pi_i+\gamma_j+b_i+\varepsilon_{ij}$

$i=1,…,n_j \quad j=bl, w3, w6$

$n_{bl}=20,\, n_{w3}=19, \, n_{w6}=18$

$\mu:$ 母平均

$\pi_i: $ 対象者 $i$ が属する群の効果（この例では stage や age の固定効果）

$\gamma_j:$ 時期の固定効果 $\quad$ j=bl (ベースライン),$\,$ j=w3 (３週間後),$\,$ j=w6 (6週間後)

$b_i: $ 対象者 $i$ の変量効果（各対象者 $i$ のばらつき） $\quad \sim N(0,\, \sigma_{id}^2)$

$\varepsilon_{ij}:$ 誤差（各対象者 $i$ の各観測時点 $j$ における効果） $\quad \sim N(0,\, \sigma_e^2)$

通常の線形回帰モデルは、固定効果のパラメータ（$\mu, \pi_i, \gamma_j, \varepsilon_{ij}$）のみを推定するために使用されます。このモデルでは、対象者の効果を表すランダム効果 $b_i$（または変量効果）が正規分布を仮定した確率分布としてモデル化されます。固定効果とランダム効果の両パラメータを推定するために、混合効果モデルと称されます。

混合効果モデルによる対応のある2群の比較

欠損値をカットしたデータセット dat2 を使用

対象者のデータが反復して測定されているので、対象者をランダム効果（変量効果）としてモデルに投入します

# lmer関数を使用した線形混合効果モデルによる解析
fit1 <- lmer(
    fim ~ period + (1 | id), # (1 | id) これで対象者をランダム効果として指定
    data = dat2
)

# モデルの要約を表示
summary(fit1)

固定効果の結果に着目

periodw6 の Estimate は 6w と 3w 差の平均値を示します

ｔ値、p値ともに 対応のあるt検定 と同じ値を示しています

欠損のある対象者も含めて解析

混合効果モデルを利用することで、欠損のある対象者も含めた解析が可能になります

データセット dat の period=3w, 6w を抜き出したデータセット（dat3）を使用

dat3

# datからbl（ベースライン）を除いたデータセットdat3を作成
dat3 <- subset(dat, dat$period != "bl")
summary(dat3)

混合効果モデル

# lmer関数 を使用して混合効果モデルで解析
fit2 <- lmer(
    fim ~ period + (1 | id),
    data = dat3
)

# モデルの要約を表示
summary(fit2)

欠損値のあるデータを除外した場合とはやや異なる結果となります

経時データの相関

横のデータ（yoko）を使用

# yokoデータセットから"bl", "w3", "w6"のカラムを選択し、
# 上部パネルを削除して散布図行列を作成
pairs(
    yoko[, c("bl", "w3", "w6")],
    upper.panel = NULL
)

欠損しているデータを除いた yoko2 を使用

#分散・共分散行列
cov(yoko2[,c("bl","w3","w6")])

#相関行列
cor(yoko2[,c("bl","w3","w6")])