ｶｲ二乗 $(\chi^2)$ 分布

自由度$k$の$\chi^2$分布

ｶｲ二乗分布の前にガンマ分布をご参照ください

\(Z_1, Z_2, …, Z_k\) が独立に \(N(0, 1)\) に従う確率変数とする

$χ^2=\sum_{i=1}^k{Z_i^2}$

が従う確率分布を自由度\(k\)の\(χ^2\)分布とよび、\(χ^2(k)\)と標記する

確率密度関数： \(f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}Γ({\frac{k}{2}})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{k-2}{2}}\)

• \(Γ()\)はガンマ関数

期待値：　\(E[χ^2]=k\)

分散：　\(V[χ^2]=2k\)

\(χ_α^2(k)\)：上側確率\(100α％\)のパーセント点

ｶｲ二乗分布は自由度によって形状が大きく異なる

自由度1, 3, 5のｶｲ二乗分布

curve(dchisq(x, 1), 0, 15, ylim=c(0,0.3)) #自由度1 赤
curve(dchisq(x, 4), 0, 15,col = "green", add = TRUE) #自由度3 緑
curve(dchisq(x, 6), 0, 15,col = "red",add = TRUE) #自由度5 青

ガンマ分布の確率密度関数からｶｲ二乗分布は描けます

\(Ga(\dfrac{k}{2}, \dfrac{1}{2})\)は、自由度 \(k\) のｶｲ二乗分布

curve(dgamma(x , shape = 0.5, scale = 2) ,0 ,15, ylim=c(0,0.3))  
curve(dgamma(x , shape = 2, scale = 2) ,0 ,15 ,add = T, col = "green")  
curve(dgamma(x , shape = 3, scale = 2) ,0 ,15 ,add = T, col = "red")  

ｶｲ二乗分布の性質

1, ｶｲ二乗分布の再生性

確率変数\(X_a, X_b\)が独立に \(χ^2(k_1)\)、\(χ^2(k_2)\)に従う場合

\(X_a + X_b\)は\(χ^2(k_1 + k_2)\)に従う

2, 正規分布からの標本（母平均）

\(N(μ,σ^2)\)に従う母集団から無作為抽出された\(X_i=X_1, X_2, …, X_n\)

\(\dfrac{X_i-μ}{σ}\)が\(N(0,1)\)に従うことから

\(W = \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{(X_i – μ)^2}{σ^2}}\) は自由度\(n\)のｶｲ二乗分布に従う

3, 正規分布からの標本（標本平均）

\(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)の場合

\(W = \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{(X_{i}-\bar{x})^2}{σ^2}}=\dfrac{(n-1)S^2}{σ^2}\)は自由度\(n-1\)のｶｲ二乗分布に従う

なぜならば、\(S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\bar{X})^2}\)

3, Cochranの定理

独立な二つの標準正規分布の平方和 $W_1$、$W_2$ があった場合

$W_1=\sum_{i=1}^{k}X_i^2, \quad W_2=\sum_{i=k}^{k+l}X_i^2$

$W=W_1+W_2$ は自由度 $k+l$ の $\chi^2$ 分布に従う

コクランの定理は、特定の条件下で、総平方和（SST）が群間平方和（SSB）と誤差平方和（SSE）に分解され、これらが独立したカイ二乗分布に従うことを示します。ただし、この定理は主に分散分析（ANOVA）の文脈で用いられます。

例）
SST（総平方和） = SSB（群間平方和） + SSE（誤差平方和）
SSB は特定の自由度pのカイ二乗分布に従う
SSE は別の自由度qのカイ二乗分布に従う
SSB と SSE は独立

参考文献

統計学入門 - 東京大学出版会

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www.utp.or.jp

改訂版 日本統計学会公式認定　統計検定2級対応　統計学基礎

www.tokyo-tosho.co.jp