級内相関係数, Case3, ICC(3, 1), ICC(3, k)

ICC(3,1) の95％信頼区間

Rの関数で求めた95％信頼区間をF分布を使用した分散比の信頼区間から求めてみます

$ICC(3,1) = \dfrac{BMS-MSE}{BMS+(3-1)MSE} = \dfrac{\dfrac{BMS}{MSE}-1}{\dfrac{BMS}{MSE}+(3-1)}$

分散比（$\dfrac{BMS}{MSE}$）の95%信頼区間を代入して、ICC(3,1)の信頼区間を求めます

BMSの自由度：$n-1$

MSEの自由度：$(n-1)(k-1)$

$\dfrac{BMS}{F_{0.975}(9, 18)*MSE} \quad ～ \quad \dfrac{BMS}{F_{0.025}(9, 18)*MSE}$

BMS <- 2462.5
MSE <- 53.47

#F値
(f1 <- qf(0.025, 9, 18))
(f2 <- qf(0.975, 9, 18))
 
#分散比の信頼区間
(v1 <- BMS/(MSE*f2))#下限はf2を使用
(v2 <- BMS/(MSE*f1))#上限はf1を使用

#ICCの信頼区間
(v1-1)/(v1+3-1)#下限
(v2-1)/(v2+3-1)#上限

詳しくはF分布(分散比の95%信頼区間)をご参照ください

F分布

血圧測定した結果、A群50名の分散10mmHg, B群30名の分散5mmHgであった。A群とB群の母分散は等しいと言えるか？F分布はリハビリテーション統計学の検定で頻出する確率分布です。

y2pt.com

2023.01.01

Rの関数でICC(3, k)をやってみましょう　

クロンバックのα係数(Cronbach’s coefficient alpha)と同じ値になりますが、理論は異なります

3人の計測結果の平均値が対象

患者平均平方和 (between-targets mean square) の期待値

平均値をとるので一人の患者に結果が1つになります

よって

$BMS=\sigma_T^2+\sigma_E^2$

$ICC(3,3)=\dfrac{BMS-MSE}{BMS}=1-\dfrac{MSE}{BMS}$

irr::icc(
    dat[,2:4],
    model="twoway",
    type="consistency",
    unit="average"
)

BMS <- 2462.5
MSE <- 53.47
(ICC3k <- (BMS - MSE)/BMS)

ICC(3,k) の95％信頼区間の求め方

$1-\dfrac{MSE}{BMS} < ICC(3,k) < 1-\dfrac{MSE}{BMS}$

$1-\dfrac{1}{v1} < ICC(3,k) < 1-\dfrac{1}{v2}$

1-1/v1#下限
1-1/v2#上限