平方和の期待値

母平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の確率変数$Y_1,Y_2, \dotsc ,Y_n$

偏差平方和$\quad \sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2$

偏差平方和の期待値

$E[{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2+2(\mu-\bar{Y})\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)+n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2+2(\mu-\bar{Y})\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}+\bar{Y}-\mu)+n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2+2(\mu-\bar{Y})\sum_{i=1}^n(\bar{Y}-\mu)+n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2+2(\mu-\bar{Y})(-\sum_{i=1}^n(\mu-\bar{Y})+n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2-2n(\mu-\bar{Y})^2+n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2-n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=E[\sum_{i=1}^n(Y_i-\mu)^2]-E[n(\mu-\bar{Y})^2]$

$=n\sigma^2-n\dfrac{\sigma^2}{n}$

$=(n-1)\sigma^2$

不偏分散の期待値

$E[\dfrac{1}{n-1}{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}]$

$=\dfrac{1}{n-1}E[{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}]$

$=\dfrac{1}{n-1}E[{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}]$

$=\dfrac{1}{n-1}(n-1)\sigma^2$

$=\sigma^2$