平均、分散、不偏分散

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(2, 3, 6, 7, 10) の平均と分散

5つのデータ（2, 3, 6, 7, 10）の平均値や分散について解説します。

$x_i ( i=1, 2, 3, 4, 5 )$
$x_i =\{2, 3, 6, 7, 10\} $

x <- c(2, 3, 6, 7, 10)
View(x)

平均

$\overline{x_i}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i)}{n}$

sum(x) / length(x)

> sum(x) / length(x)
[1] 5.6

mean関数で平均値を求めます。

mean(x)

> mean(x)
[1] 5.6

二乗平均

$\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i^2)}{n}$

mean(x^2) 

> mean(x^2) 
[1] 39.6

分散（標本分散）

$\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x_i})^2}{n}$
$\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}-\overline{x_i}^2$

sum((x - mean(x))^2) / length(x)
sum(x^2) / length(x) - (mean(x))^2

> sum((x - mean(x))^2) / length(x)
[1] 8.24
> sum(x^2) / length(x) - (mean(x))^2
[1] 8.24

不偏分散

$\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x_i})^2}{n-1}$

sum((x - mean(x))^2) / (length(x) - 1)

> sum((x - mean(x))^2) / (length(x) - 1)
[1] 10.3

var関数で不偏分散を求めます。

var(x)

> var(x)
[1] 10.3

標準偏差（標本標準偏差）

$\sqrt{x_iの標本分散}$

sqrt((1/length(x))*sum((x-mean(x))^2))
sqrt(sum(x^2) / length(x) - (mean(x))^2)

> sqrt((1/length(x))*sum((x-mean(x))^2))
[1] 2.87054
> sqrt(sum(x^2) / length(x) - (mean(x))^2)
[1] 2.87054

不偏標準偏差

$\sqrt{x_iの不偏標本分散}$

sqrt(sum((x - mean(x))^2) / (length(x) - 1))

> sqrt(sum((x - mean(x))^2) / (length(x) - 1))
[1] 3.209361

sd関数で求めます。

sd(x)

> sd(x)
[1] 3.209361

注意）Rの関数 sd は不偏標準偏差なので、標本標準偏差を求めるためには以下のようになります

sd(x)*sqrt((length(x)-1)/length(x))

> sd(x)*sqrt((length(x)-1)/length(x))
[1] 2.87054

色々な平均値

算術平均（相加平均）:最も一般的な平均で、すべての数値の合計をその数の個数で割ることで計算されます。
幾何平均:数値の積の n 乗根です。R言語で幾何平均を計算する際には、自然対数の算術平均を求め、その平均の指数を取ることで幾何平均を求めます。正の数値に適用され、比率や成長率を表すデータに適しています。
調和平均:逆数の算術平均の逆数として計算されます。速度や比率の平均を求めるのに適しています。
加重平均:各データ点に重み（重要度や頻度など）をつけて平均を取ります。
刈り込み平均:極端な値を両端から除外してから平均を計算します。

# Arithmetic Mean
mean(x)
# Geometric Mean
exp(mean(log(x)))
# Harmonic Mean
length(x) / sum(1/x)
# Weighted Mean, weights w <- c(1, 2, 3, 2, 1) in this case
w <- c(1, 2, 3, 2, 1)
weighted.mean(x, w)
# Trimmed Mean, trim is the proportion to trim from each end (0 to 1)
mean(x, trim = 0.2)

> # Arithmetic Mean
> mean(x)
[1] 5.6
> # Geometric Mean
> exp(mean(log(x)))
[1] 4.789389
> # Harmonic Mean
> length(x) / sum(1/x)
[1] 4.022989
> # Weighted Mean, weights w <- c(1, 2, 3, 2, 1) in this case
> w <- c(1, 2, 3, 2, 1)
> weighted.mean(x, w)
[1] 5.555556
> # Trimmed Mean, trim is the proportion to trim from each end (0 to 1)
> mean(x, trim = 0.2)
[1] 5.333333