平均、分散、不偏分散

統計量（z値とt値）

標本ｘが正規分布$N( \mu , \ \sigma^2 )$に従う場合

$Zvalue = \dfrac{標本平均\ – \ 母平均}{\sqrt{母分散}}= \dfrac{\overline{x}\ – \ \mu}{\sigma}$

しかし推定の場合には母分散は未知の場合が多い．そこで，標本平均の$\sqrt{標本不偏分散}$を使用してt値を求めます (不偏標準偏差と呼ばれることもある)．

$Tvalue = \dfrac{標本平均\ -\ 母平均}{\sqrt{標本不偏分散}}=\dfrac{\overline{x}\ – \ \mu}{s}$

これは正規分布には従わず、自由度 $n-1$ の t分布 に従います

付録

chat GPTの答え

分散の演算の重要な性質

$V($ 定数 $) = 0$
$V( X +$ 定数$ ) = V(X)$
$V( X + Y ) = V(X)+V(Y)$
$V( cX ) = c^2*V(X)$

証明

なぜ不偏分散はn-1で割るのか？

西内啓、統計学が最強の学問である［実践編］データ分析のための思想と方法　数学的補足p6-12