Fisherの正確確率検定

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間違った解釈をしないように！

(再掲)

severity <- c(rep("severe", 12), rep("mild", 6), rep("severe", 3), rep("mild", 8))
severity <- factor(severity, levels=c("severe", "mild"))
levels(severity)
#[1] "severe" "mild"
effect <- c(rep("yes", 18), rep("no", 11))
effect <- factor(effect, levels=c("yes", "no"))
levels(effect)
#[1] "yes" "no" 
tab <- xtabs( ~ severity + effect)
print(tab)

> print(tab)
        effect
severity yes no
  severe  12  3
  mild     6  8

帰無仮説: severeのオッズ = mildのオッズ
対立仮説: severeのオッズ > mildのオッズ

severeのオッズ がmildのオッズより有意に大きいことを証明します。Fisherの直接法により有意水準5%で検定します。

fisher.test(tab)

> fisher.test(tab)

        Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab
p-value = 0.06043
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  0.8163182 40.7244582
sample estimates:
odds ratio 
  5.003853 

p=0.06となり有意差はありません・・・、という回答は間違っています。fisher.testのデフォルトを確認しましょう。

?fisher.test

fisher.test(x, y = NULL, workspace = 200000, hybrid = FALSE,
            hybridPars = c(expect = 5, percent = 80, Emin = 1),
            control = list(), or = 1, alternative = "two.sided",
            conf.int = TRUE, conf.level = 0.95,
            simulate.p.value = FALSE, B = 2000)

alternative = “two.sided”がデフォルトで、両側検定が初期設定となっています。しかし今回の検定は 「片側検定を5％水準で行う」と宣言しています。alternative = “less” または、”greater”を設定しなければなりません。さてどちらを選択すればよいでしょうか。

先に述べましたように X≧12 となる確率を求めることになります。alternative = “greater” と設定して上側検定を実行します。

fisher.test(tab, alternative = "greater")

> fisher.test(tab, alternative = "greater")

        Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab
p-value = 0.04601
alternative hypothesis: true odds ratio is greater than 1
95 percent confidence interval:
 1.029929      Inf
sample estimates:
odds ratio 
  5.003853 

p=0.046となり帰無仮説は棄却され、severeのオッズは mildのオッズより有意に大きいという結果になります。

ここで重要なのは、オッズ比の見方になります。分割表が以下のように入れ替わった場合は、もちろん答えも変わってきます。どちらが分母で、どちらが分子になっているか判断しなければなりません。以下の分割表ではnoとyesを入れ替えています。

tab_m <- tab[, c(2, 1)] 
print(tab_m)

> print(tab_m)
        effect
severity no yes
  severe  3  12
  mild    8   6

これで列が入れ替わりました．検定してみましょう。

fisher.test(tab_m, alternative = "greater")

> fisher.test(tab_m, alternative = "greater")

        Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab_m
p-value = 0.9935
alternative hypothesis: true odds ratio is greater than 1
95 percent confidence interval:
 0.03358399        Inf
sample estimates:
odds ratio 
  0.199846 

この場合のオッズ比は、

tab_mのオッズ比=$\frac{severのno}{severのyse}/\frac{mildのno}{mildのyse}$

Rで分割表を検定する場合は、このことに十分気を付けながら実行しなければなりません。

3群以上の場合

tab3 <- matrix(c(15, 12, 6, 3, 3, 10), 3, 2)
rownames(tab3) <- c("level 1", "level 2", "level 3")
colnames(tab3) <- c("yes", "no")
print(tab3)

> print(tab3)
        yes no
level 1  15  3
level 2  12  3
level 3   6 10

オッズ=$\frac{yes}{no}$

帰無仮説：レベル1, 2, 3のオッズは等しい
対立仮説：レベル1, 2, 3のオッズは等しくない（3群のどこかでが異なる）

fisherの正確検定

fisher.test(tab3)

> fisher.test(tab3)

        Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab3
p-value = 0.0103
alternative hypothesis: two.sided

fisherの正確検定は大変複雑な計算になりますが、Rでは一瞬で算出してくれます。両側検定をした結果は、p = 0.048 となり統計学的に差があるという結果になりました。

ｶｲ二乗検定

chisq.test(tab3)

> chisq.test(tab3)

        Pearson's Chi-squared test

data:  tab3
X-squared = 9.6654, df = 2, p-value = 0.007965

警告メッセージ:
chisq.test(tab3) で: カイ自乗近似は不正確かもしれませ

p値は少し異なりますが、ｶｲ二乗検定もやはり有意という回答になりました。

多重比較

グループ間の割合に差があるということなので、多重比較を行う場合が多いと思われます。でも、個人的には井口先生のご意見に賛成です。以下をご参照ください。

Fisher 正確検定の後に多重比較するな

Fisher 正確検定の後に，下位検定（事後検定 post hoc test）として，多重比較（Bonferroni, Holm など）を行うことは適切ではない。

biolab.sakura.ne.jp

このことを理解した上で、多重比較の方法のみを記載しておきます。使用するパッケージは、RVAideMemoire。インストールしてない場合は install.packages(“RVAideMemoire”)。

library(RVAideMemoire)

以下のようなｐ値調整の方法があります。

p.adjust.methods
# c("holm", "hochberg", "hommel", "bonferroni", "BH", "BY",
#   "fdr", "none")

Adjust P-values for Multiple Comparisons

ホルム

実際にやってみましょう．A=１行目、B＝2行目、C＝３行目．

fisher.multcomp(tab3, p.method="holm")

> fisher.multcomp(tab3, p.method="holm")

        Pairwise comparisons using Fisher's exact test for count data

data:  tab3

        level 1 level 2
level 2 1.00000       -
level 3 0.03673 0.05802

P value adjustment method: holm

ボンフェローニ

fisher.multcomp(tab3, p.method="bonferroni")

> fisher.multcomp(tab3, p.method="bonferroni")

        Pairwise comparisons using Fisher's exact test for count data

data:  tab3

        level 1 level 2
level 2 1.00000       -
level 3 0.03673 0.08702

P value adjustment method: bonferroni

どちらの方法も１行目と3行目に有意差ありという判定でした。

比率の検定（1標本問題：10人中\(k\)人が転倒した町）

「母比率の検定」と書くべきところですが、理解しやすいようにここでは「比率の検定」というタイトルにしました。検定の前に二項分布について復習しておきましょう。ここでは、僕が考えた例題「10人中6人が転倒経験のあるS町」について考えます。

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2023.01.01