級内相関係数, Case3, ICC(3, 1), ICC(3, k)

Rの関数でICC(3,1)をやってみましょう

Rの関数でICC(3,1)をやってみましょう

Rの関数を使用してICC(3,1)を算出。モデルは2要因なのですが、特定の評価者なのでagreementではなくconsistencyを選択。つまり評価者を固定効果として考えます。

irr::icc(
    dat[,2:4],
    model="twoway",
    type="consistency",
    unit="single"
)

 Single Score Intraclass Correlation

   Model: twoway 
   Type : consistency 

   Subjects = 10 
     Raters = 3 
   ICC(C,1) = 0.938

 F-Test, H0: r0 = 0 ; H1: r0 > 0 
    F(9,18) = 46.1 , p = 1.33e-10 

 95%-Confidence Interval for ICC Population Values:
  0.831 < ICC < 0.983

結果のみでよければ、ここまでです

ここからは、もう少し詳しく勉強してみましょう

統計モデル

モデルは$Case2$のときと同じです

$y_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+z_{ij}$

$i=1, \dots , n \quad j=1, \dots ,k $

$\alpha_i \sim N(0, \sigma_T^2) \quad \cancel{\beta_j \sim N(0, \sigma_U^2)} \quad z_{ij} \sim N(0, \sigma_Z^2)$

患者はランダム、評価者は固定なのでミックスモデルと呼ばれます

$\sigma_T^2$：真の分散（真の検査結果のバラツキ）
$\beta_j$の分散=$V(\beta_j)$
$\sigma_Z^2$：誤差による分散

＊理論はもうちょっと複雑（交互作用の効果）ですので、詳細についてはShrout(1979)をご参照ください

The Expected Mean Squares（平均平方の期待値）

患者平均平方和 (BMS: between-targets mean square) の期待値

$BMS \fallingdotseq k\sigma_T^2+\sigma_Z^2$

評価者平均平方和 (JMS: between-judges mean square)

$JMS=V(\beta_j)$

誤差平均平方和 (MSE: Mean Square Error) の期待値

$MSE \fallingdotseq \sigma_Z^2$

以上のことから

$\sigma_T^2=\dfrac{BMS-MSE}{k}$

全体の分散から$V(\beta_j)$を引いた値の推定値

$V[y_{ij}-\mu]-V(\beta_j)=\sigma_T^2+\sigma_Z^2=\dfrac{BMS-MSE}{k}+MSE$

分散に平均平方を代入してICC(3,1)を求めます

$ICC(3,1)=\dfrac{\sigma_T^2}{V[y_{ij}]-V(\beta_j)}$

$=\dfrac{\dfrac{BMS-MSE}{k}}{\dfrac{BMS-MSE}{k}+MSE}$

$=\dfrac{BMS-MSE}{BMS+(k-1)MSE}$

分散分析表

二元配置分散分析を実施してIDと残差の平均平方和からICC(3,1)を求めます

fit <- lm(data ~ ID + PT, data=dat2)
anova(fit)

Response: data
          Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
ID         9 22162.7 2462.52  46.051 1.33e-10 ***
PT         2    19.5    9.73   0.182   0.8351    
Residuals 18   962.5   53.47

分散分析表から平均平方和のみを取り出してICC(3,1)を求めてみます

BMS <- anova(fit)[1, 3] #2462.52
MSE <- anova(fit)[3, 3] #53.47
(ICC3 <- (BMS - MSE)/(BMS + (3-1)*MSE))

> (ICC3 <- (BMS - MSE)/(BMS + (3-1)*MSE))
[1] 0.9375659

Rの関数iccで算出した解と同じですね

ICC(1,1)との比較

ICC(1,1)

> anova(fit)
Analysis of Variance Table

Response: data
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
ID         9  22163  2462.5  50.153 9.014e-12 ***
Residuals 20    982    49.1

ICC(1,1)では評価者が1名なので分散分析表からは除外しています。また誤差の分散としてICC(1,1)では49.1を使用してます。

ICC(3,1) の95％信頼区間

Rの関数で求めた95％信頼区間をF分布を使用した分散比の信頼区間から求めてみます

$ICC(3,1) = \dfrac{BMS-MSE}{BMS+(3-1)MSE} = \dfrac{\dfrac{BMS}{MSE}-1}{\dfrac{BMS}{MSE}+(3-1)}$

分散比（$\dfrac{BMS}{MSE}$）の95%信頼区間を代入して、ICC(3,1)の信頼区間を求めます

BMSの自由度：$n-1$

MSEの自由度：$(n-1)(k-1)$

$\dfrac{BMS}{F_{0.975}(9, 18)*MSE} \quad ～ \quad \dfrac{BMS}{F_{0.025}(9, 18)*MSE}$

BMS <- 2462.5
MSE <- 53.47

#F値
(f1 <- qf(0.025, 9, 18))
(f2 <- qf(0.975, 9, 18))
 
#分散比の信頼区間
(v1 <- BMS/(MSE*f2))#下限はf2を使用
(v2 <- BMS/(MSE*f1))#上限はf1を使用

#ICCの信頼区間
(v1-1)/(v1+3-1)#下限
(v2-1)/(v2+3-1)#上限

> #F値
> (f1 <- qf(0.025, 9, 18))
[1] 0.2701621
> (f2 <- qf(0.975, 9, 18))
[1] 2.929112
>  
> #分散比の信頼区間
> (v1 <- BMS/(MSE*f2))#下限はf2を使用
[1] 15.7228
> (v2 <- BMS/(MSE*f1))#上限はf1を使用
[1] 170.4675
> 
> #ICCの信頼区間
> (v1-1)/(v1+3-1)#下限
[1] 0.8307266
> (v2-1)/(v2+3-1)#上限
[1] 0.9826054

詳しくはF分布(分散比の95%信頼区間)をご参照ください