ガンマ分布 ～\(Ga(α, λ)\)

指数分布を一般化したもの

確率密度関数

• \(f(x)=\frac{λ^α}{Γ(α)}x^{α-1}e^{-λx}\)   \((x≧0)\)
• \(f(x)=0\)   \((x<0)\)

・2つのパラメタがあります\(Ga(α, λ)\)と表します

・\(α=1\)の場合、指数関数になります

期待値：\(\frac{α}{λ}\)

分散：\(\frac{α}{λ^2}\)

・確率変数\(X\)が\(N(0,1)\)に従う場合、\(X^2\)は\(Ga(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\)に従う

・\(Ga(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})\)は、自由度\(k\)のｶｲ二乗分布といわれる

ガンマ関数

• \(Γ(α)=\int_{0}^{∞}x^{α-1}e^{-x}dx \)

ガンマ分布のグラフ　\(Ga(α, λ)\)

• \(α: shape\)

• \(\frac{1}{λ}: scale\)

\(λ ＝ 1\)の場合、\(scale=1\)

curve(dgamma(x , shape = 1 , scale = 1) , 0 , 8)  
curve(dgamma(x , shape = 2 , scale = 1) , 0 , 8 , add = T , col = "green")  
curve(dgamma(x , shape = 3 , scale = 1) , 0 , 8 , add = T , col = "red")