カイ二乗(\(χ2\))分布

自由度kのχ2分布

カイ二乗分布の前にガンマ分布をご参照ください

\(Z_1, Z_2, …, Z_k\) が独立に \(N(0, 1)\) に従う確率変数とすると

\(χ^2 = Z_1^2, Z_2^2, …, Z_k^2\) とした場合、

確率変数\(χ^2\)が従う確率分布を自由度\(k\)の\(χ^2\)分布とよび、\(χ^2(k)\)と標記する

確率密度関数: \(f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}Γ({\frac{k}{2}})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{k-2}{2}}\)

  • \(Γ()\)はガンマ関数

期待値: \(E[χ^2]=k\)

分散: \(V[χ^2]=2k\)

\(χ_α^2(k)\):上側確率\(100α%\)のパーセント点

カイ二乗分布は自由度によって形状が大きく異なる

自由度1, 3, 5のカイ二乗分布

curve(dchisq(x, 1), 0, 15, ylim=c(0,0.3)) #自由度1 赤
curve(dchisq(x, 4), 0, 15,col = "green", add = TRUE) #自由度3 緑
curve(dchisq(x, 6), 0, 15,col = "red",add = TRUE) #自由度5 青

ガンマ分布の確率密度関数からカイ二乗分布は描けます

\(Ga(\dfrac{k}{2}, \dfrac{1}{2})\)は、自由度 \(k\) のカイ二乗分布

curve(dgamma(x , shape = 0.5, scale = 2) ,0 ,15, ylim=c(0,0.3))  
curve(dgamma(x , shape = 2, scale = 2) ,0 ,15 ,add = T, col = "green")  
curve(dgamma(x , shape = 3, scale = 2) ,0 ,15 ,add = T, col = "red")  

カイ二乗分布の性質

1, カイ二乗分布の再生性

確率変数\(X_a, X_b\)が独立に \(χ^2(k_1)\)、\(χ^2(k_2)\)に従う場合

\(X_a + X_b\)は\(χ^2(k_1 + k_2)\)に従う

2, 正規分布からの標本(母平均)

\(N(μ,σ^2)\)に従う母集団から無作為抽出された\(X_i=X_1, X_2, …, X_n\)

\(\dfrac{X_i-μ}{σ}\)が\(N(0,1)\)に従うことから

\(W = \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{(X_i – μ)^2}{σ^2}}\) は自由度\(n\)のカイ二乗分布に従う

3, 正規分布からの標本(標本平均)

\(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)の場合

\(W = \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{(X_{i}-\bar{x})^2}{σ^2}}=\dfrac{(n-1)S^2}{σ^2}\)は自由度\(n-1\)のカイ二乗分布に従う

なぜならば、\(S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\bar{X})^2}\)

参考文献

統計学入門 - 東京大学出版会
統計学入門詳細をご覧いただけます。
改訂版 日本統計学会公式認定 統計検定2級対応 統計学基礎

リハビリテーション研究に必要な統計学について、R(Windows, ChatGPT)を使って紹介してます。サンプルは全て架空のデータで作成しています。したがって解析結果は事実とは異なりますのでご了承ください。間違いなどのご指摘はコメント欄にご記入いただければ助かります。

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