経時データの解析（混合効果モデル、反復測定分散分析）

AR1型

$\blacksquare$ 一次自己回帰モデル

$X_t=\phi X_{t-1}+\epsilon_t$

$X_t: $時点tにおける観測値\
$\phi: $自己回帰パラメータ
$\epsilon_t: $時点tにおける誤差項

AR1型の共分散構造は、一次自己回帰モデル(AR1)に由来しており、隣接する観測値間の相関が減衰するという構造を持っています

$Corr(X_t,X_{t−1})=\phi$

$\phi*Corr(X_t,X_{t−2}​)=\phi^2$

一次自己回帰モデル（AR1モデル）は、時系列データのモデリングで使用され、現在の観測値が前の時点の観測値に依存するという構造を持っています。AR1型の共分散構造は、一次自己回帰モデル(AR1)に由来しており、隣接する観測値間の相関が減衰するという構造を持っています。AR1型の共分散構造は、混合効果モデルや一般化推定方程式などで使用され、観測値間の相関をモデル化する際に、隣接する観測値間の相関が最も強く、次第に離れた時点間の相関が減少する構造になっています。

経時データの解析で使用される場合が多い共分散構造

最も隣接する時点（”bl” と “w3″）の相関が最も強く、次第に離れた時点（”bl” と “w6″）の相関が減少する共分散構造

$cov(Y_i) = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \phi & \phi^2 \\ & 1 & \phi \\ & & 1 \\ \end{pmatrix} $

例えば、AR1型の共分散構造において隣接する観測値間の相関が0.5の場合、1時点離れた観測値間の相関は0.5^2=0.25、2時点離れた観測値間の相関は0.5^3=0.125となる

ランダム効果の共分散構造は、対象者ごとの違いやグループ内の変動を捉えるために使用され、 random引数 で指定されます。観測誤差の相関構造は、隣接する観測誤差（モデルの予測と実際の観測値との差）の相関を考慮するために使用され、これは correlation引数 で指定されます。

観測誤差（モデルの予測と実際の観測値との差）の相関とは、例えば「blの予測値と実際の観測値の差」と「w3の予測値と実際の観測値の差」の相関ということです！

model4 <- lme(
    fim ~ period,
    random = ~1 | id,
    correlation = corAR1(form = ~1 | id),# (form = ~1 | id) は、相関構造が個体idごとに存在することを示しています
    data = dat
)
summary(model4)

Correlation Structureは、 AR1 の相関構造を示し、そのパラメータの推定値は 0.8214593 ($\phi=0.8214593$) であることを示しています。Correlationは、固定効果パラメータの推定値間の相関を示しています。

無相関型（indepedence）

切片のランダム効果を除外して、bl, 3w, 6wの各期間の分散が等分散であり、また各期間には関連性がない（無相関）ことを仮定したモデル

したがって、今回のような経時データの解析には適用できない場合が多いモデルです

$cov(Y_{ij}) = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 & 0 \\ & \sigma^2 & 0 \\ & & \sigma^2 \\ \end{pmatrix} $

この共分散構造は、異なる期間同士のランダム効果が互いに無相関であるという仮定に基づいています

（~ period-1）の -1 で、各idのランダム効果の切片を除外して、periodに対するidのランダム効果のみを設定

# nlmeパッケージを使用して線形混合効果モデルを作成
model5 <- nlme::lme(
    fim ~ period,
    random = list(id = pdIdent(~ period - 1)),
    data = dat
)

# モデルの要約を表示
summary(model5)

pdIdent関数は等分散の共分散構造を定義するための関数です。ランダム効果のすべての成分が同じ分散を持ち、他の成分との共分散が0であるという構造を持つため、実質的には対角行列となります。

$\blacksquare$ 分散

$\sigma^2=8.087729^2＝65.41$

Rの関数は以下のようになります

var2 <- VarCorr(model5)
print(var2)

無構造型 (unstructured)

$cov(Y_{ij}) = \begin{pmatrix} \sigma_{bl} & \sigma_{bl, w3} & \sigma_{bl, w6} \\ & \sigma_{w3} & \sigma_{w3, w6} \\ & & \sigma_{w6} \\ \end{pmatrix} $

model6 <- nlme::lme(
    fim ~ period,
    random = list(id = pdSymm(~ period - 1)),
    data = dat
)
 
# モデルの要約を表示
summary(model6)

以下、ChatGPTの答えです

共変量で調整したモデル

重回帰分析

Rを使いながら重回帰分析の構造を学習します。回帰分析表と分散分析表の違いもこれで理解できます。

y2pt.com

2023.04.28

$\blacksquare$ 混合効果モデルは重回帰分析と同様に多くの変数を投入して変数選択していくことも可能ですが・・・

# lme関数を使用して線形混合効果モデルを作成
# 期間、ステージ、年齢を固定効果として、個体差を複合対称構造でランダム効果として考慮

multi1 <- lme(
    fim ~ period + stage,              # 固定効果の定義
    random = list(id = pdCompSymm(~ period)), # ランダム効果の定義（複合対称構造）
    data = dat                               # 使用データセット
)

summary(multi1)

$\blacksquare$ 交互作用の効果も検証可能

multi2 <- lme(
    fim ~ period * stage, # 固定効果の定義
    random = ~ 1 | id,          # ランダム効果の定義
    data = dat                  # 使用データセット
)

# モデルの要約を表示
summary(multi2)