カイ二乗検定

＊本サイトのサンプルデータは全て架空のものです

独立性の検定

「独立している」とは？

リハビリテーション研究でよくみかけるカイ二乗検定は、この独立性の検定がほとんどです.

要因 $A_i$   {$i=1, 2, 3$}
要因 $B_j$   {$j=1, 2, 3$}

要因 \(A_i\) と要因 \(B_j\) が完全に独立している例

df1 <- matrix(c(1, 2, 6, 2, 4, 12, 5, 10, 30), 3, 3)
colnames(df1) <- c("A1", "A2", "A3")
rownames(df1) <- c("B1", "B2", "B3")
#View(df1)

$P(A_i∩B_j)＝P(A_i)∗P(B_j)$

この式は、確率論において、二つの事象 $A_i$ と $B_j$ が独立であるということを表しています。すなわち、事象 $A_i$ と事象 $B_j$ が同時に起こる確率 $(A_i∩B_j)$ が、事象 $A_i$ の単独で起こる確率 $P(A_i)$ と事象 $B_j$ ​ の単独で起こる確率 $P(B_j)$ の積と等しい場合、これらの事象は統計学的に独立であると言えます。

独立していない極端な例

df2 <- matrix(c(1, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 30), 3, 3)
colnames(df2) <- c("A4", "A5", "A6")
rownames(df2) <- c("B4", "B5", "B6")
#View(df2)

要因 $B4：B5：B6$ の比率は、要因 $A_4, A_5, A_6$ ごとにそれぞれ異なる割合になっています. このような場合には、要因 $B_j$ は要因 $A_i$ に依存しているので、要因 $B_j$ と要因 $A_i$ には何らかの関連性があると考えます. 統計学的な関連性の検証には独立性の検定が用いられ、p値が低ければ $A_i$ と $B_j$​ の間に統計的に有意な関連性があることを示唆します. サンプルサイズが小さい場合やデータが2×2の表である場合には、Fisherの正確検定が適切な方法であり、これもまた統計的に関連性があるかどうかを判定するものです.

独立性の検定の帰無仮説

独立性の検定の帰無仮説には、つぎのような表現が使われます(どれも同じ意味です)

• 事象 $A_i$ と事象 $B_j$ には有意な連関がない
• 事象 $A_i$ と事象 $B_j$ は独立である 
• $A_1, A_2, …, A_i$ の割合（比）はどの $B_j$ に対しても共通である
• 全ての ${}_i{}_j$ に対して $P(A_i∩B_j)＝P(A_i)∗P(B_j)$

サンプルファイル（csvファイルの読み込み方）

dat <- read.csv("kaijijou_01.csv", header=T, fileEncoding = "Shift-JIS")

どんなデータフレームになっているか確認してみます
先頭から６行のみ抜き出し

head(dat)

ここまでできればデータの読み込みは完了

datという文字の中にkaijijou_01というエクセルのファイルが読み込まれました. ここからエクセルファイルは直接使わずに、Rで作業を進めていきます.

２変数の分割表の作成

tab <- xtabs(~ 筋トレ + 歩行改善, data = dat)
print(tab)

今度はtabという文字の中に、以下のような分割表が生成されたはずです. tabと入力してEnterキーを押してください. エクセルの一覧表が一気に分割表になります. これでカイ二乗検定の準備完了. あとは以下のように書けば独立性の検定結果を出力してくれます. 有意水準5％で検定してみましょう.

Yates（イエーツ）の補正なし

Yatesの補正なしのカイ二乗検定. この場合はcorrect = FALSEと入力します.

chisq.test(tab, correct = FALSE)

検定結果のみが必要な方は、ここまででOKです. もう少し勉強したい人は次に進みましょう.

Yates（イエーツ）の補正

Yates（イエーツ）の補正を加えたカイ二乗検定

chisq.test(tab)

RはYatesの補正がデフォルト設定になっています

p < 0.05なので、筋トレと歩行改善は『独立していない』という結果になりました. つまり、筋トレの有無と歩行練習の有無には何らかの関連性があるということです. yatesの補正はカイ二乗値が小さくなるような補正ですのでｐ値が大きくなります.

ｶｲ二乗値とｶｲ二乗分布

ｶｲ二乗値の求め方

ｶｲ二乗検定の統計量 ( X-squared = 6.0764 ) となる、ｶｲ二乗値は以下のようにして求めます

$\sum\sum\dfrac{(観測度数 – 期待度数)^2}{期待度数}$

ちなみにYatesの補正をした場合の統計量は以下のようになります

$\sum\sum\dfrac{(|観測度数 – 期待度数|-0.5)^2}{期待度数}$

ｶｲ二乗値を直接求めてみましょう！

addmargins(tab)

いかのような出力になったでしょうか（分割表の周辺和が出るはずです）

患側度数と期待度数を求めてｶｲ二乗値を求めます

期待度数

20*20/35
20*15/35
15*20/35
15*15/35

ｶｲ二乗値

((15-20*20/35)^2)/(20*20/35) +
((5-20*15/35)^2)/(20*15/35) +
((5-15*20/35)^2)/(15*20/35) +
((10-15*15/35)^2)/(15*15/35)

ｶｲ二乗値は以下のようになったでしょうか？

上で求めたX-squared = 6.0764と同じ値になりました

yatesの補正をした場合のｶｲ二乗値 (X-squared = 4.4941) も求めてみましょう

((abs(15-20*20/35)-0.5)^2)/(20*20/35) +
((abs(5-20*15/35)-0.5)^2)/(20*15/35) +
((abs(5-15*20/35)-0.5)^2)/(15*20/35) +
((abs(10-15*15/35)-0.5)^2)/(15*15/35)

chisq.test関数で求めた統計量と同じ値になりました

ｶｲ二乗分布

自由度1のｶｲ二乗分布

curve(dchisq(x, 1), xlim=c(0, 8), ylim=c(0, 1))

このような図が描けたでしょうか？これが自由度1のカイ二乗分布です. dchisq(x, 1) の数字の部分が自由度ですのでdchisq(x, 2) に変更すると自由度2のカイ二乗分布が描けます. カイ二乗値が 6.0764 なのでかなり右裾に位置することが理解できます. Yatesの補正の場合は分子から0.5を引いているのでカイ二乗値は小さくなり、4.4941 という値だったので、P値が大きくなることが理解できます.

適合度の検定

本来であれば独立性の検定の前に書くべきでしょうが、リハビリテーション研究にはあまり利用されておりませんので、後に回しました。

どんな検定か？

理論上の確率分布から得られる期待度数 (Expected frequency) を求めることが前提となります．その期待度数を利用して観測度数 (Observed frequency) が適合するかどうか（当てはまりの良さ）を検定します.

適合度の検定の帰無仮説

・各カテゴリーにおける観測された割合は、それぞれのカテゴリーに期待される割合と同じである.
・各階級の発生確率は、想定される母集団分布の確率と同じである.
・観測されたデータの分布は、想定される理論的確率分布に従っている.

例）次のデータはメンデルの法則 1:2:1 の確率に適合しているか？

観測度数 <-c( 52, 102, 46 )
理論確率 <- c ( 1/4, 1/2, 1/4 )
遺伝子 <- c("AA", "Aa", "aa")
tab <- data.frame(遺伝子, 観測度数, 理論確率)
#View(t(tab))

chisq.test(観測度数, p=理論確率)    

帰無仮説は棄却されないので、理論確立に従っていることが証明されました

期待度数は、次のように計算します（理論確立があるので簡単です）

期待度数 <- 理論確率*sum(観測度数) 
print(期待度数)

観測度数と期待度数は以下のようになります

観測度数 <-c(52, 102, 46)
期待度数 <- c (50, 100, 50)
遺伝子 <- c("AA", "Aa", "aa")
tab2 <- data.frame(遺伝子, 観測度数, 期待度数)
#View(t(tab2))

ｶｲ二乗値の求め方は独立性の検定と同じです

$\sum\sum\dfrac{(観測度数 – 期待度数)^2}{期待度数}$

(52-50)^2/50 + (102-100)^2/100 + (46-50)^2/50

ｶｲ二乗分布は自由度２なので以下のようなグラフになります

curve(dchisq(x, 2), xlim = c(0, 8), ylim = c(0, 0.5))

Rを使用してｶｲ二乗値からｐ値を求める場合は・・・

pchisq(0.44, 2, lower.tail = FALSE)