t検定（対応あり） - 統計学備忘録

例題
仮説
統計量
両側検定
p値
上側検定

例題

歩行距離に差はあるか・・・という僕が作った架空の例題で説明します。

例題
COPDの男性患者10名を対象にして、入院時と入院2週間後に6分間歩行距離(m)を計測した。
両時点での歩行距離に有意な差があるか検証せよ。

Rを使って10名のサンプルを作成します

計測結果（pre: 入院時、post: 2週間後）

ID <- 1:10
pre <- c(330, 410, 410, 315, 395, 290, 250, 335, 302, 340)
post <- c(350, 420, 408, 333, 445, 312, 275, 312, 295, 395)
(df <- data.frame(ID, pre, post))

仮説

帰無仮説：入院時の歩行距離と2週間後の歩行距離に差はない\( \quad (pre=post)\)

対立仮説1：入院時と2週間後の歩行距離の差の平均は0ではない\( \quad (pre \neq post)\)

対立仮説2：2週間後の歩行距離は入院時の歩行距離より長い\( \quad (post – pre ＞ 0)\)

対立仮説1を証明する場合には両側検定、対立仮説2を検証する場合には片側検定となります

入院治療の効果を判定する場合には、本来であれば対立仮説2になるのですが、対立仮説1で検証している報告が多いようです

統計量

2週間後 – 入院時： \(post-pre\)

（2週間後 – 入院時）の平均値：\(\bar{X}\)

（2週間後 – 入院時）の不偏分散: \(s^2\)

mean(post - pre) #標本平均
var(post - pre) #標本不偏分散

母分散が未知の平均値の差の検定なので、ｔ統計量を使用します (\(\sim t(10-1)\))

また帰無仮説では \(pre=post\) を仮定しているので \(\mu = 0\) とします

\(t=
\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{s^2}{n}}}=\dfrac{16.8-0}{\sqrt{\dfrac{579.733}{10}}}\)

(t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa)))

この統計量（ｔ値＝2.21）を利用して検定してみましょう

両側検定

対立仮説1（\(\bar{X} \neq 0 \)）を有意水準5％で検定してみましょう

#グラフ
x <- seq(-5, 5, length=100)
plot(
    x, dt(x, 9), type = "l",
    xlim=c(-5, 5), ylim=c(0, 0.4),
    xlab="", ylab="", xaxt="n"
)

t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa))
lines(c(t, t), c(-1.5, dt(t, 9)))
axis(side=1, at=t)

2.21より右側の面積<0.025であれば有意水準5％の両側検定で帰無仮説が棄却できます

右側の面積が0.025の部分を青色で塗りつぶしてみましょう

#グラフ
x <- seq(-5, 5, length=100)
plot(
    x, dt(x, 9), type = "l",
    xlim=c(-5, 5), ylim=c(0, 0.4),
    xlab="", ylab="", xaxt="n"
)

q = qt(0.025, 9, lower.tail=F)
p <- seq(q, 5, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="#72C6EF")

t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa))
lines(c(t, t), c(-1.5, dt(t, 9)))
axis(side=1, at=t)

2.21は棄却域には入っていないようなので、ｐ値は0.05より少し大きい値となっていることが予想できます

Rの関数で確認してみましょう

t.test(sa)

ｔ値は2.21でｐ値は0.055です

p>0.05で有意差なし・・・という結果になりました

p値

上記の検定は両側検定でした

したがって求めたp値は両側の裾の面積になります

x <- seq(-5, 5, length=100)
plot(
    x, dt(x, 9), type = "l",
    xlim=c(-5, 5), ylim=c(0, 0.4),
    xlab="", ylab="", xaxt="n"
)

t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa))
p <- seq(t, 5, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="yellow")

p2 <- seq(-t, -5, length=100)
y <- dt(p2, 9)
polygon(c(p2,rev(p2)), c(rep(0,length(p2)), rev(y)), col="yellow")

axis(side=1, at=c(-t, t)

両側検定の場合は、正確には以下のように描かなければなりません

両側の黄色い部分の合計面積が0.05となります

#グラフ
x <- seq(-5, 5, length=100)
plot(
    x, dt(x, 9), type = "l",
    xlim=c(-5, 5), ylim=c(0, 0.4),
    xlab="", ylab="", xaxt="n"
)

q = qt(0.025, 9, lower.tail=F)
p <- seq(q, 5, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="#72C6EF")

q = qt(0.025, 9, lower.tail=F)
p2 <- seq(-q, -5, length=100)
y <- dt(p2, 9)
polygon(c(p2,rev(p2)), c(rep(0,length(p2)), rev(y)), col="#72C6EF")

lines(c(t, t), c(-1.5, dt(t, 9)))
lines(c(-t, -t), c(-1.5, dt(-t, 9)))
axis(side=1, at=c(-t, t))

上側検定

post > pre を有意水準5％で証明してみます

対立仮説2：(post – pre）の平均＞ 0

t値は両側検定で求めた値と同じです

(t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa)))

Rの関数を使用して検定してみましょう

t.test(sa, alternative="greater")

むむっ・・・今度はｐ<0.05で、帰無仮説を棄却することができました。なんか妙な気がします・・・？

これは一側の検定ですの、下のグラフの緑色部分のみがp値として算出されます

つまり両側検定のときの半分のｐ値になります

#グラフ
x <- seq(-5, 5, length=100)
plot(
    x, dt(x, 9), type = "l",
    xlim=c(-5, 5), ylim=c(0, 0.4),
    xlab="", ylab="", xaxt="n"
)

t <- mean(sa)/sqrt(var(sa)/length(sa))
p <- seq(t, 5, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="yellow")

lines(c(t, t), c(-1.5, dt(t, 9)))
axis(side=1, at=t)