t検定（対応なし、母分散が未知で等しくない場合）

僕が作った架空のデータで練習しましょう。結果についてはご意見があると思いますが、統計学の練習のためのサンプルですのでご了承ください。ウェルチの検定（ウェルチのt検定、ウェルチの近似法）とも呼ばれています。

例題）回復期病棟で３週間入院した脳卒中患者を対象とした。A病院の患者群をA群、B病院の患者群をB群としてFIM利得を比較した。両群の患者属性、入院時FIM、治療内容については傾向スコアにて調整した。（分散が等しい例題と同じ内容ですが、サンプルが異なります）

データの準備と要約
ウェルチのt検定
等分散性の検定
t値

データの準備と要約

使用するパッケージ（パッケージのインストール）

library(psych)

同じ分散をもつ正規分布から抽出したサンプルを使用します（縦のデータセット）

データセットwelchをdatに格納します（ファイルの読み込み）

welch

dat <- read.csv("welch.csv", header=T, fileEncoding = "Shift-JIS")

サンプルwelchは下記の乱数から取り出した、母分散が異なる（A群25、B群400）独立した２群のセットです（実行するたびに数値は異なります）

A <- round(rnorm(28, 25, 5),0)
B <- round(rnorm(31, 30, 20),0)

サンプル先頭6行を表示

head(dat)

A群とB群の要約

#groupを名義変数に変更
dat$group <- factor(dat$group)

#各グループの要約
gsum <- psych::describeBy(dat$data, dat$group)
print(gsum)

箱ひげ図で確認します

boxplot(data~group, data=dat)

このように両群の分散の推定値の差が大きい場合、母分散のが等しいと想定することが難しくなります

このような場合にはWelchのt検定を実施します

ウェルチのt検定

t.test(data~group, data=dat)

P=0.086となり有意差は認められませんでした

結果のみでよければ、ここまでです

ここからは、もう少し詳しく勉強してみましょう

等分散性の検定

両群の分散が等しいかどうかを検定（有意水準5％）します

帰無仮説：groupAの分散＝groupBの分散

➡ 分散比＝$\dfrac{va}{vb}＝1$

分散比の分子と分母を確認します

str(dat$group)

分散比は $\dfrac{A}{B}$ となります

B群を分子に置く場合は以下のように書きます。

dat\$group <- relevel(dat\$group, ref=”B”)

この場合は分散比（F値）が異なる値になります。詳しくはF分布をご覧ください。

#等分散性の検定
var.test(data ~ group, data=dat)

F値とP値の求め方

#groupAの分散
va <- var(dat[dat$group=="A", "data"])
print(va)

#groupBの分散
vb <- var(dat[dat$group=="B", "data"])
print(vb)

分散比$=F=\dfrac{va}{vb}=\dfrac{21.59}{482.25}=0.045$

pf(va/vb, 28-1, 31-1)*2

帰無仮説は棄却され、A群とB群の分散は等しいとは言えない

本来であれば片側検定が妥当と思います。

参考ページ➡Fisherの正確検定

t値

分散が等しくない場合にはｔ値を次のように定義します

A群の平均を$\bar{A}$、B群の平均を$\bar{B}$

A群の母平均を$\mu_A$、B群の母平均を$\mu_B$

A群のサンプルサイズを$n_1$、B群のサンプルサイズを$n_2$

A群の不偏分散を$s_1^2$、B群の不偏分散を$s_2^2$

$t=\dfrac{\bar{A}-\bar{B}}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}$

このｔ値は近似的に自由度が次のようになるｔ分布に従うことが知られています

$df=\dfrac{(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2})^2}{\dfrac{(\dfrac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\dfrac{(\dfrac{s_1^2}{n_2})^2}{n_2-1}}$

t値と自由度

A群とB群の要約より

#サンプルサイズ
n1 <- gsum$A$n
n2 <- gsum$B$n

#不偏分散
v1 <- gsum$A$sd^2
v2 <- gsum$B$sd^2

#平均
mA <- gsum$A$mean
mB <- gsum$B$mean

#T統計量（T値）
(t <- (mA - mB)/sqrt(v1/n1 + v2/n2))

#自由度
(df <- ((v1/n1 + v2/n2)^2)/(((v1/n1)^2)/(n1-1) + ((v2/n2)^2)/(n2-1)))