ウェルチの検定（ウェルチのt検定、ウェルチの近似法）
例題（分散が等しい例題と同じ内容ですが、サンプルが異なります） 回復期病棟で３週間入院した脳卒中患者を対象とした。A病院の患者群をA群、B病院の患者群をB群としてFIM利得を比較した。両群の患者属性、入院時FIM、治療内容については傾向スコアにて調整した。
同じ分散をもつ正規分布から抽出したサンプルを使用します（縦のデータセット）
サンプルは下記の乱数から取り出したセットです（実行するたびに数値は異なります）
A <- round(rnorm(28, 25, 5),0)
B <- round(rnorm(31, 30, 20),0)
母分散が異なる（A群25、B群400）独立した２群の設定です
dat <- read.csv("welch.csv",header=T, fileEncoding = "Shift-JIS")
head(dat)
boxplot(data~group, data=dat)
このように両群の分散の推定値の差が大きい場合、母分散のが等しいと想定することが難しくなります
このような場合にはｔ値を次のように定義します
A群の平均を\(\bar{A}\)、B群の平均を\(\bar{B}\)
A群の母平均を\(\mu_A\)、B群の母平均を\(\mu_B\)
A群のサンプルサイズを\(n_A\)、B群のサンプルサイズを\(n_B\)
A群の不偏分散を\(s_A^2\)、B群のサンプルサイズを\(s_B^2\)
\(t=\dfrac{\bar{A}-\bar{B}}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B}}}\)
このｔ値は近似的に自由度が次のようになるｔ分布に従うことが知られています
\(df=\dfrac{(\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B})^2}{\dfrac{(\dfrac{s_A^2}{n_A})^2}{n_A-1}+\dfrac{(\dfrac{s_B^2}{n_B})^2}{n_B-1}}\)
Rでウェルチの検定を実行してみましょう
t.test(data~group, data=dat)
t値と自由度を確認してみましょう
nA <- length(dat[dat$group=="A","data"])#サンプルサイズ
nB <- length(dat[dat$group=="B","data"])#サンプルサイズ
vA <- var(dat[dat$group=="A","data"])#不偏分散
vB <- var(dat[dat$group=="B","data"])#不偏分散
mA <- mean(dat[dat$group=="A","data"])#平均
mB <- mean(dat[dat$group=="B","data"])#平均
(t <- (mA - mB)/sqrt(vA/nA + vB/nB))
(df <- ((vA/nA + vB/nB)^2)/(((vA/nA)^2)/(nA-1) + ((vB/nB)^2)/(nB-1)))
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